hdu 3861 The King’s Problem

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强连通分量 + 最小路径覆盖

题意:有向图如果2个点可以互达,那么它们属于一个state,然后将图分割成尽量少的部分,在一个部分内,任意2点u,v,都要满足u可达v或者v可达u。

步骤

  1. 求一次强连通分量,然后重新建图变成一个DAG
  2. DAG中一个大点内的小点一定是满足[ u可达v或者v可达u ],另外如果是在DAG中找一条不分叉的路径,路径上的点也全部满足[ u可达v或者v可达u ],但是分叉了就不行了。这其实就是最小路径覆盖

    最小路径覆盖:用尽量少的不想交的简单路径覆盖有向无环图的所有顶点。

    最小路径覆盖 = 顶点数 - 匹配数

  3. 在DAG上做一次最大匹配求得最大匹配,从顶点数减去即可
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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
#define N 5010
#define M 100010
#define cl memset
#define pb push_back

int n,tot,head[N];
struct edge{
int v,next;
}e[M];
int dfn[N],low[N],belong[N],stack[N],ins[N],dcnt,bcnt,top;
vector<int>ver[N];
int mat[N],vis[N],ans;

inline void add(int u,int v){
e[tot].v = v; e[tot].next = head[u]; head[u] = tot++;
}

void tarjan(int u){
dfn[u] = low[u] = ++dcnt;
stack[++top] = u; ins[u] = 1;
for(int k = head[u]; k != -1; k = e[k].next){
int v = e[k].v;
if(!dfn[v]){
tarjan(v);
low[u] = min(low[u],low[v]);
}
else if(ins[v])
low[u] = min(low[u],dfn[v]);
}
if(dfn[u] == low[u]){
++bcnt;
while(true){
int x = stack[top--];
ins[x] = 0;
belong[x] = bcnt;
if(x == u) break;
}
}
}

void scc(){
dcnt = bcnt = top = 0;
cl(dfn,0,sizeof(dfn));
cl(ins,0,sizeof(ins));
for(int i = 1; i <= n; i++)
if(!dfn[i])
tarjan(i);
}

void rebuild(){
for(int i = 1; i <= bcnt; i++)
ver[i].clear();
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = head[i]; j != -1; j = e[j].next){
int u = belong[i];
int v = belong[e[j].v];
if(u == v) continue;
ver[u].pb(v);
}
}

int dfs(int u){
for(int i = 0; i < ver[u].size(); i++){
int v = ver[u][i];
if(!vis[v]){
vis[v] = 1;
if(mat[v] == -1 || dfs(mat[v])){
mat[v] = u;
return 1;
}
}
}
return 0;
}

void MaxMatch(){
ans = 0;
cl(mat,-1,sizeof(mat));
for(int u = 1; u <= bcnt; u++){
cl(vis,0,sizeof(vis));
ans += dfs(u);
}
}

int main(){
int m,cas;
scanf("%d",&cas);
while(cas--){
tot = 0;
cl(head,-1,sizeof(head));
scanf("%d%d",&n,&m);
while(m--){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
add(u,v);
}
scc();
rebuild();
MaxMatch();
printf("%d\n",bcnt - ans);
}
return 0;
}