uva 11324 The Largest Clique

本文从WordPress迁移而来, 查看全部WordPress迁移文章

强连通分量 + 最长路

题意:对于两个个有向图图G和图T(G),拥有相同的顶点,若图G中点u到点v存在路径,那么就在T(G)中直接连接点u和点v,把图T(G)称为图G的传递闭包。另外定义一个数值clique,意思是,一个的顶点集合中,任意两个点之间都存在有向边(是存在有向边而不仅仅是可达,即u->v或v->u或两者共存都可以),那么clique = 顶点数

给定一个图G,问T(G)的clique的最大值

简单来讲,就是在图T(G)中选出最多的点组成一个顶点集合,使得集合中任意两个点之间至少存在一条有向边

分析:由于T(G)是G的传递闭包,那么T中的一条边u->v对应过去就是G中u可达v,所以在图T中找出最多的点使他们有边,就是在图G中找出最多的点,使得任意两点之间可达(不是相互可达,是一个可达另一个即可)

这时候我们可以抛开T了,完全从G中考虑。先对G进行强连通分量缩点,因为一个强连通分量内的点一个相互互达,一个点如果被选中了,那么它所在的那个强连通分量内的点也一定可以选上。

对图G缩点后得到一个DAG,就变成了在DAG中选一个点集,使其中任意两点可达(不是互相可达),思考后发现,其实只能找一条没有分叉的路径,路径上的任意两点都满足可达的条件。因为如果路径出现了分叉,必定有两个点是不可达的

在DAG中找一条没有路径,而且尽可能长,那么就是一条最长路!用DP解决即可

整个步骤

  1. 建图(G)
  2. 缩点得到DAG
  3. 重新建图(DAG)
  4. 在DAG上求最长路
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
#define N 1010
#define M 50010
#define pb push_back

int n,tot;
int dfn[N],low[N],dcnt;
int belong[N],bcnt;
int stack[N],top;
bool ins[N];
int head[N];
struct edge{
int u,v,next;
}e[M];
int val[N],dp[N];
bool used[N];
vector<int>ver[N];

inline void add(int u ,int v){
e[tot].u = u;
e[tot].v = v;
e[tot].next = head[u];
head[u] = tot++;
}

void tarjan(int u){
dfn[u] = low[u] = ++dcnt;
stack[++top] = u;
ins[u] = true;
for(int k=head[u]; k!=-1; k=e[k].next){
int v = e[k].v;
if(!dfn[v]){
tarjan(v);
low[u] = min(low[u],low[v]);
}
else if(ins[v])
low[u] = min(low[u],dfn[v]);
}
if(dfn[u] == low[u]){
bcnt++;
while(true){
int x = stack[top--];
belong[x] = bcnt;
ins[x] = false;
if(x == u) break;
}
}
}

void scc(){
dcnt = bcnt = top = 0;
memset(dfn,0,sizeof(dfn));
memset(ins,false,sizeof(ins));
for(int i=1; i<=n; i++)
if(!dfn[i])
tarjan(i);
}

void rebuild(){
for(int i=0; i<=bcnt; i++){
ver[i].clear();
val[i] = 0;
}
for(int u=1; u<=n; u++){
val[belong[u]]++;
for(int k=head[u]; k!=-1; k=e[k].next){
int v = e[k].v;
if(belong[u] == belong[v]) continue;
ver[belong[u]].pb(belong[v]);
}
}
}

void dfs(int u){
if(dp[u] != -1) return ;
dp[u] = 0;
for(int i=0; i<ver[u].size(); i++){
int v = ver[u][i];
dfs(v);
dp[u] = max(dp[u],dp[v]);
}
dp[u] += val[u];
}

void DP(){
memset(dp,-1,sizeof(dp));
for(int i=1; i<=bcnt; i++)
if(dp[i] == -1)
dfs(i);
int res = 0;
for(int i=1; i<=bcnt; i++)
res = max(res,dp[i]);
cout << res << endl;
}

int main(){
int cas,m;
cin >> cas;
while(cas--){
tot = 0;
memset(head,-1,sizeof(head));
cin >> n >> m;
while(m--){
int u,v;
cin >> u >> v;
add(u,v);
}
scc();
rebuild();
DP();
}
return 0;
}